پیِ آواز حقیقت بدویم

بر سردر آکادمی افلاطون نوشته بودند: «هرکس هندسه نمی‌داند وارد نشود.»[1] همین یک جمله کافی است اهمیت و جایگاه هندسه را نزد یونانیان باستان نشان دهد. این اهمیت، به یونان باستان محدود نمی‌شود، بلکه با گذشت بیش از دوهزار سال از تدوین هندسه از جانب اقلیدس، همچنان هندسه در مدارس و دانشگاه‌های جهان تدریس می‌شود و در بسیاری از فناوری‌ها و علوم مهندسی از آن استفاده می‌شود. حتی واژﮤ «مهندس» نیز از واژﮤ «هندسه» گرفته شده است و به‌ معنای کسی است که هندسه می‌داند.

همان‌طور که در بخش پیش اشاره شد، استدلال باید بر گزاره‌های اولیه استوار باشد. این گزاره‌های اولیه در منطق ارسطویی، «بدیهی» نامیده می‌شوند و در منطق جدید از واژﮤ «اصل» برای آن استفاده می‌شود. هندسۀ اقلیدسی نیز بر پنج گزارﮤ بدیهی (اصل) استوار شد. لذا در تاریخ علم، هندسۀ اقلیدسی را اولین دستگاه اصل موضوعی محسوب می‌کنند.

بدیهی ۱: از هر دو نقطۀ متمایز، یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.

بدیهی ۲: هر پاره‌خط را می‌توان تا بی‌نهایت روی خط راست امتداد داد.

بدیهی ۳: با یک نقطه به‌عنوان مرکز و یک پاره‌خط به‌عنوان شعاع، می‌توان یک دایره رسم کرد.

بدیهی ۴: همۀ زوایای قائمه با هم برابرند. (این اصل، معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد).

بدیهی ۵: اگر یک خط، دو خط دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمع زوایای داخلی تولیدشده توسط خط مورّب کمتر از دو قائمه است، به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

بدیهی پنجم که «اصل توازی» نامیده شده است، بیان دیگری هم دارد:

بدیهی ۵: از هر نقطۀ خارج از یک خط، یک خط و فقط یک خط می‌توان موازی خطِ اوّل رسم کرد.[2]

این اصول، از منظر شهودی، واضح و بدیهی به نظر می‌رسند؛ و یکی از شاهکارهای اقلیدس، این بود که تعداد زیادی از قضایای هندسی را از همین بدیهیات استنتاج کرد. در میان بدیهیات هندسۀ اقلیدسی، بدیهی پنجم، از دیرباز مورد تردید بود. ریاضی‌دانان بسیاری در تلاش بودند تا این گزاره را از سایر بدیهیات هندسه نتیجه بگیرند، اما تمام این تلاش‌ها ناموفق بود. تا آن‌که در قرن نوزدهم، دیدگاه جدیدی ظهور کرد و مشخص شد که بدیهی پنجم، از چهار بدیهی دیگرِ هندسه مستقل است. یعنی بدیهی توازی را نمی‌توان از سایر بدیهیات هندسۀ اقلیدسی نتیجه گرفت. این مسئله، از طریق ارائۀ هندسه‌های نااقلیدسی روشن شد؛ مدل‌های هندسی جدیدی ارائه شد که در آن‌ها سایر بدیهیات هندسه درست هستند، ولی بدیهی پنجم نادرست است. با این حال، مدلی سازگار برای این هندسه‌های متفاوت وجود دارد.

چه‌بسا هندسه‌های نااقلیدسی به واقعیت جهان پیرامون ما نزدیک‌تر باشد. برای مثال، در هندسۀ اقلیدسی، تمام اشکال هندسی روی صفحه‌ای تخت با ابعاد بی‌نهایت رسم می‌شود. بیاییم ما هم به همین کار اقدام کنیم و در یک راستای مشخص شروع به حرکت کنیم، به‌گونه‌ای که دقیقاً یک خط راست را پیمایش کرده باشیم. برای این‌که به یک خط راست برسیم، ابتدا باید پستی و بلندی‌های زمین را نادیده بگیریم. با این حال، ما روی کرﮤ زمین زندگی می‌کنیم و گرانش زمین بر حرکت ما اثرگذار است. در نتیجه، خط راست ما یک دایرﮤ بزرگ دور کرﮤ زمین خواهد بود و نیروی گرانش اجازه نمی‌دهد از سطح زمین جدا شویم و صفحۀ اقلیدسی را پیمایش کنیم.

به ‌این ‌ترتیب، اشکالی که ما روی سطح زمین ترسیم می‌کنیم، تفاوت‌هایی با اشکالی دارند که روی سطح اقلیدسی ترسیم می‌شوند. مثلاً کشاورزی، زمین زراعی خود را به‌صورت یک مستطیل مشخص دیوارکشی می‌کند؛ اما این مستطیل، در ظاهر مسطّح است، درحالی‌که واقعاً چنین نیست، بلکه بخشی از یک سطح خمیده روی کره است. مجموع زوایای داخلی این سطحِ شبیهِ مستطیل، بیش از ۳۶۰ درجه است؛ که این، با مفاهیم هندسۀ اقلیدسی متفاوت است. البته تفاوتی در حد کمتر از یک میلی‌متر، در مورد یک زمین کشاورزی، تفاوت معناداری محسوب نمی‌شود. امّا وقتی در مقیاس کشورها و قاره‌ها صحبت می‌کنیم، این تفاوت به‌حدی است که منطقۀ گرینلند با مساحت 2.17 میلیون کیلومتر مربع، با قارﮤ آفریقا با مساحت 30.37 میلیون کیلومتر مربع، در نقشۀ مسطح جهان هم‌اندازه به نظر می‌رسند.

در هر حال، اگر بخواهیم به واقعیت نزدیک‌تر شویم، بهتر است نگرش خود به هندسۀ جهان را از هندسۀ مسطح اقلیدسی به هندسۀ کروی تغییر دهیم. این، همان تغییر نگرشی بود که ریاضی‌دانانی مثل ریمان و لُباچفسکی در قرن نوزدهم ارائه کردند.

هندسۀ ریمانی (کروی) از همان بدیهیات هندسۀ اقلیدسی استفاده می‌کند، به‌جز بدیهی پنجم. در این هندسه، به‌جای بدیهی پنجم، گزارﮤ زیر جایگزین شده است:

 از هر نقطۀ خارج از یک خط، هیچ خطی موازی آن نمی‌توان رسم کرد.[3]

در هندسۀ لباچفسکی (هذلولوی)، بدیهی پنجم به این شکل است: از هر نقطۀ خارج از یک خط، حداقل دو خط موازی آن می‌توان رسم کرد.[4]

هردوی این هندسه‌ها سازگار هستند و دچار تناقض نمی‌شوند، هرچند که بدیهی پنجم اقلیدس را انکار می‌کنند. پس آیا واقعاً این گزاره بدیهی بود؟ بالأخره کدامشان حقیقت هستند؟ هندسۀ اقلیدسی یا هندسه‌های نااقلیدسی؟ چطور می‌توان هم‌زمان هم هندسۀ اقلیدسی را معتبر دانست و هم هندسه‌های نااقلیدسی را؟ درحالی‌که آن‌ها در کنار هم به تناقض می‌رسند. این سؤالات و بسیاری از سؤالات مشابه دیگر، مفهوم بدیهیات در منطق ارسطویی را وارد چالش کرد. به‌تدریج، تفاوت در مبادی علوم به رسمیت شناخته شد و علم واحد جای خود را به نظریات علمی داد. علامه‌های همه‌چیزدان جای خود را به نظریه‌پردازان و متخصصان نظریه‌ها دادند. منطق ریاضی گسترش یافت و جایگزین منطق ارسطویی شد.

ادامه دارد ...