پیِ آواز حقیقت بدویم

در قسمت‌های پیشین، ریاضیات را به‌عنوان یکی از مصادیق مهم علوم انتزاعی شناختیم. همچنین با یکی از شاخه‌های ریاضی به نام هندسۀ اقلیدسی آشنا شدیم. پس از مطرح شدن هندسه‌های نااقلیدسی و زیر سؤال رفتن بدیهیات منطق ارسطویی، رویکرد جدیدی در علوم ازجمله در ریاضیات شکل گرفت و مبانی علوم مورد بازبینی قرار گرفت. به این ترتیب، با تلاش‌های ریاضی‌دانان بسیاری ریاضیات جدید در قرن نوزدهم متولد شد. امروزه نظریۀ مجموعه‌ها پایۀ تقریباً تمام نظریه‌های ریاضی است. این نظریه توانسته تمام شاخه‌های ریاضی از نظریۀ اعداد گرفته تا جبر و هندسه و آنالیز و نظریۀ گراف را پوشش دهد. به‌علاوه، بسیاری از نظریه‌ها حتی نظریه‌های مطرح در علوم تجربی تلاش می‌کنند تا درستی خود را از ریاضیات امروزی وام بگیرند. لذا نظریۀ مجموعه‌ها به پایه‌ای برای بسیاری از علوم تبدیل شده است.

ما هنوز به این سؤال پاسخ نداده‌ایم که: «چه چیزی باعث شد که علمی انتزاعی مانند ریاضیات در چنین جایگاهی قرار گیرد؟» در این قسمت، قصد داریم به بخشی از پاسخ این سؤال بپردازیم. برای این کار، اجازه دهید اندکی عمیق‌تر با نظریۀ مجموعه‌ها آشنا شویم و یکی از اصول نظریۀ مجموعه‌ها را بررسی کنیم. همان‌طور که از نامش پیداست، مفهوم «مجموعه» موضوع اصلی در نظریۀ مجموعه‌هاست. کم‌وبیش همۀ ما با این مفهوم آشنا هستیم و در گفتار روزمره از واژﮤ مجموعه استفاده می‌کنیم:

مجموعۀ انسان‌ها؛ مجموعۀ اشیاء سفید؛ مجموعۀ اعداد اول؛ مجموعۀ باکتری‌های مفید؛ مجموعۀ 2، 3 و 7؛ مجموعۀ تهی؛ مجموعۀ کشاورزان موفق اندونزی و ... .

بعضی از مجموعه‌ها با مشخص کردن اعضای آن مجموعه تعریف می‌شوند؛ مثلاً مجموعه‌ای شامل 2، سیب، بز کوهی، کهکشان راه شیری. نیازی نیست که بین اعضای چنین مجموعه‌ای ارتباط یا ویژگی مشترکی وجود داشته باشد؛ اما مشخص کردن تک‌تک اعضای بسیاری از مجموعه‌ها سخت و حتی گاهی ناممکن است. لذا اکثر مجموعه‌ها با اوصاف و ویژگی‌های مشترک اعضای آنها شناخته می‌شوند. برای مثال، توصیف «ساکنان مناطق شرق آسیا در قرون وسطی» یک توصیف است که مجموعه‌ای از افراد را مشخص می‌کند. یا ویژگی «اعداد اول کوچک‌تر از 10» یک مجموعه از اعداد شامل 2، 3، 5 و 7 را مشخص می‌کند. بر این اساس، بسیار واضح و بدیهی است که بگوییم هر توصیف یا ویژگی یک مجموعه را مشخص می‌کند. ویژگی «کور بودن» مجموعۀ تمام کورها را می‌سازد و ویژگی «کچل بودن» تمام کچل‌ها را در یک مجموعه جمع می‌کند. به این ترتیب، به گزارﮤ بدیهی زیر می‌رسیم:

اصل درک نامحدود: هر ویژگی مانند P دقیقاً یک مجموعه را مشخص می‌کند که اعضای آن همگی ویژگی P را دارند و هر شیئی که دارای ویژگی P باشد در این مجموعه است.

به این ترتیب، مجموعه‌های بسیار متنوعی را می‌توان تعریف کرد. این مجموعه‌ها را با نماد   نمایش می‌دهند. و آن را به این شکل می‌خوانند: «مجموعۀ تمام xهایی که در شرط P صدق می‌کنند». در ریاضیات، رابطۀ عضو بودن را با نماد  نمایش می‌دهند. لذا  به این معنی است که  متعلق به مجموعۀ  است. ازاین‌رو، بیان ریاضی «اصل درک نامحدود» چنین می‌شود:

ازجمله مجموعه‌هایی که با این اصل می‌توان تعریف کرد یک مجموعۀ جهانی است. کافی است P را طوری تعریف کنیم که همه چیز را شامل شود. برای نمونه، خاصیت  را می‌توانیم به شکل «  سفید است یا سفید نیست» تعریف کنیم. می‌دانیم که هرچیزی در جهان یا سفید هست یا نیست؛ لذا مجموعۀ  تمام اشیای جهان را شامل می‌شود.

فِرِگِه یکی از افراد اثرگذار در تدوین اصول ریاضیات جدید است. او این اصل را در کتاب خود منتشر کرد. زمانی که کتاب دوم فرگه آمادﮤ چاپ شده بود، نامه‌ای از یک ریاضی‌دان جوان به نام برتراند راسل دریافت کرد که در آن یک پارادوکس مطرح شده بود. این پارادوکس نشان می‌داد که یکی از بنیان‌هایی که فرگه از آن استفاده کرده بود، باعث تناقض منطقی در نظریۀ او می‌شود. لذا او پایه‌های عمارتی را که ساخته بود لرزان یافت.[1]

برای فهم پارادوکس راسل، باید به این نکته توجه کنیم که جهان ریاضیات شامل مجموعه‌ها نیز هست و خاصیت‌ها می‌تواند در مورد مجموعه‌ها نیز مطرح شود. در بین مجموعه‌ها، ممکن است مجموعه‌هایی وجود داشته باشند که به خودشان تعلق دارند. مثلاً مجموعۀ مجموعه‌های ناتهی، یک مجموعۀ ناتهی است. بنابراین در خاصیت خودش صدق می‌کند و در نتیجه، عضو خودش به شمار می‌رود. اما تعلق یک مجموعه به خودش خیلی عادی نیست. لذا اجازه دهید که چنین مجموعه‌هایی را «غیرعادی» بنامیم و سایر مجموعه‌ها را «عادی» نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب، می توانیم  را همان خاصیت عادی بودن تعریف کنیم. به بیان ریاضی می‌نویسیم:

طبق اصل درک نامحدود، مجموعه‌ای با این خاصیت وجود دارد؛ یعنی مجموعه‌ای وجود دارد که اعضایش مجموعه‌های عادی هستند. اجازه دهید اسم این مجموعه را  بگذاریم. تعریف ریاضی  به این شکل است:

اکنون سؤال این است که آیا  یک مجموعۀ عادی است؟

اجازه دهید هر دو فرض را بررسی کنیم:

فرض 1:  عادی است.

اگر  عادی باشد، طبق تعریف مجموعه‌های عادی،  نباید متعلق به خودش باشد؛ یعنی . اما این همان خاصیت  است؛ یعنی  برقرار است و چون  در این خاصیت صدق می‌کند، باید متعلق به مجموعۀ  باشد. یعنی باید داشته باشیم . اکنون اگر نگاهی به تعریف  بیندازیم، متوجه می‌شویم که  همان مجموعۀ  است. بنابراین، به گزارﮤ  رسیده‌ایم. گفتیم که اگر مجموعه‌ای متعلق به خودش باشد، غیرعادی است. در نتیجه،  نیز غیرعادی است و این تناقض با فرض عادی بودن  است.

فرض 2:  غیرعادی است.

اگر  غیرعادی باشد، یعنی  عضو خودش است؛ پس داریم . با توجه به تعریف  می‌توانیم بنوسیم: . طبق اصل درک نامحدود، اعضای مجموعۀ  در خاصیت  صدق می‌کنند؛ یعنی  باید مجموعه‌ای عادی باشد. که باز هم به تناقض می‌رسیم.

بالأخره  عادی است یا غیرعادی؟ پاسخی برای این سؤال وجود ندارد و واقعاً این مسئله گیج‌کننده است. ازاین‌رو، چنین مسائلی را «پارادوکس»[2] می‌خوانند؛ چراکه از هر طرف که شروع کنیم به تناقض می‌رسیم. منشأ چنین تناقضاتی را باید در همان گزاره‌هایی جست‌وجو کنیم که آنها را بدیهی می‌پنداشتیم. در اینجا، مهم‌ترین گزارﮤ بدیهی که استفاده شده همان اصل درک نامحدود است. در واقع پارادوکس راسل نشان می‌دهد که این اصل نه‌تنها بدیهی نیست، بلکه نادرست است و دارای تناقض درونی است.

پس از شناسایی این تناقض، ریاضی‌دانان این اصل را اصلاح کردند و «اصل تصریح» را جایگزین آن نمودند. اصل تصریح می‌گوید که با هر خاصیت مانند P می‌توان زیرمجموعه‌ای از یک مجموعه را جدا کرد که همگی دارای خاصیت P هستند. اصل تصریح منجر به تشکیل زیرمجموعه‌هایی از یک مجموعۀ بزرگ‌تر می‌شود؛ لذا این اصل را اصل «زیرمجموعه» هم می‌نامند. بنابراین، پیش از جدا کردن یک زیرمجموعه باید مجموعه‌ای بزرگ‌تر وجود داشته باشد تا بتوان از اصل تصریح استفاده کرد. این موضوع همان تفاوت اصل تصریح با اصل درک نامحدود است. همین تفاوت به‌ظاهر کوچک از یک سو دست ریاضی‌دانان را در تعریف بسیاری از مجموعه‌ها می‌بندد و از سوی دیگر، مانع از ورود پارادوکس راسل به نظریۀ جدید مجموعه‌ها می‌شود.

با این تغییر اصولی، وجود مجموعۀ جهانی نیز منتفی می‌شود. حال آن‌که پیش از آن، وجود مجموعۀ جهانی (مجموعه‌ای شامل همه چیز) بدیهی به نظر می‌رسید. اگر مجموعۀ جهانی وجود داشته باشد، بازهم پارادوکس راسل رخ خواهد داد؛ چراکه کافی است مجموعه‌های عادی را از مجموعۀ جهانی جدا کنیم.

با تلاش‌های ریاضی‌دانان و اندیشمندان، ریاضیات قدیم پالایش شد و با دقت و وسواس بسیار زیادی پایه‌های جدیدی برای ریاضیات شکل گرفت. آثار جدیدی تدوین شد که نشان می‌داد اصول ریاضی می‌تواند تمام قضایای موجود ریاضی تا آن زمان را اثبات کند. از جملۀ این آثار می‌توان به کتاب سه جلدی «اصول ریاضیات» نوشتۀ وایتهد و راسل اشاره کرد.

تلاش‌های انجام‌شده به‌جایی رسیده که در یک قرن اخیر هیچ تناقضی در ریاضیات شناسایی نشده است. بنابراین، بسیاری افراد به درستی و سازگاری ریاضیات موجود باور دارند. وجود تعداد محدودی اصل که از منظر شهودی واضح و قابل فهم و قابل تصدیق هستند، باور به سازگاری ریاضیات را تقویت می‌کند، درحالی‌که بسیاری از نظریه‌های دیگر از این درجه از اطمینان برخوردار نیستند.

همین ویژگی باعث شده تا نظریه‌هایی که بر ریاضیات استوار می‌شوند، پذیرفتنی‌تر و قابل اعتمادتر از سایر نظریه‌ها باشند. به همین دلیل، حتی علوم تجربی نیز تلاش می‌کنند با بیان عددی اندازه‌گیری‌ها و اتکا بر مفاهیم ریاضی، خود را به ریاضیات نزدیک کنند و درستی خود را از آن وام بگیرند. هیلبرت در این زمینه می‌گوید:

«هر نوع علمی، اگر به درجه‌ای از بلوغ برسد، به‌طور اتوماتیک قسمتی از ریاضیات می‌گردد.»[3]

سازگاری یک نظریه به این معناست که آن نظریه هیچ‌گاه دچار تناقض نشود. لذا این اثبات سازگاری ریاضیات به آینده‌ای نامعلوم واگذار شده است و اعتقاد به سازگاری ریاضیات موجود هم عقیده‌ای بدون دلیل محسوب می‌شود. کسانی که با قضیۀ ناتمامیت گودل[4] آشنا هستند می‌دانند که اگر ریاضیات واقعاً سازگار باشد، این آیندﮤ نامعلوم هیچ‌گاه نخواهد رسید و همیشه سازگاری ریاضیات در تردید باقی خواهد ماند.